Question

如圖，某風(fēng)景區(qū)準(zhǔn)備美化以快直徑為AB的半圓形空地，O為圓心，C為圓周上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，已知AB為一假山壁，若以山壁為一邊，△ACD內(nèi)為一噴泉，△ACD外栽種花草，若AB=200米，∠CAB=θ，y=AC+CD．
（1）試用θ表示y；
（2）現(xiàn)一架飛機(jī)在風(fēng)景區(qū)上空向半圓區(qū)域空投一怕水小物品，假設(shè)把物品看為質(zhì)點(diǎn)，且物品落入半圓各點(diǎn)的機(jī)會(huì)相等，求當(dāng)y取最大值時(shí)，物品落入花草地的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）連接CB，則AC⊥CB，求出AC=ABcosθ=100cosθ．然后求出函數(shù)的解析式．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)為0，求出θ=30°．通過(guò)當(dāng)0°＜θ＜30°時(shí)，當(dāng)30°＜θ＜90°時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，說(shuō)明θ=30°時(shí)函數(shù)取得最大值，求解即可．

解答： 解：（1）連接CB，則AC⊥CB，
又AB=200，∠CAB=θ，∴AC=ABcosθ=100cosθ．
又CD⊥AB，∴CD=ACsinθ=100sinθcosθ．
∴y=200（1+sinθ）cosθ，（0＜θ＜

π

2

）．
（2）y′=[200（1+sinθ）cosθ]′=[200cosθ+50sin2θ]′=200（-sinθ+cos2θ）．
由y′=0得sinθ=

1

2

或sinθ=-1（舍去）．
∴θ=30°．
當(dāng)0°＜θ＜30°時(shí)，y′＞0，則y在（0，30°）遞增．
當(dāng)30°＜θ＜90°時(shí)，y′＜0，則y在（30°，90°）遞減．
∴當(dāng)θ=30°時(shí)函數(shù)取得最大值y_max=200（1+sin30°）cos30°=150

3

．
∵AB=200，∴AC=100

3

，CD=50

3

，
∴S_△ACD=

1

2

×100

3

×50

3

×

3

2

=3750

3

，
∴當(dāng)y取最大值時(shí)，物品落入花草地的概率1-

3750 3

20000π

=1-

3 3

16π

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最大值的求法，考查計(jì)算能力．