Question

已知橢圓，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左、右焦點，P為橢圓C上任一點，△F₁PF₂的重心為G，內(nèi)心I，且有（其中λ為實數(shù)），橢圓C的離心率e=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：在焦點△F₁PF₂中，設(shè)P（x₀，y₀），由三角形重心坐標公式，可得重心G的縱坐標，因為，故內(nèi)心I的縱坐標與G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內(nèi)心分割的三個小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可解得離心率
解答：設(shè)P（x₀，y₀），∵G為△F₁PF₂的重心，
∴G點坐標為 G（，），
∵，∴IG∥x軸，
∴I的縱坐標為，
在焦點△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴=•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I為△F₁PF₂的內(nèi)心，∴I的縱坐標即為內(nèi)切圓半徑，
內(nèi)心I把△F₁PF₂分為三個底分別為△F₁PF₂的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形
∴=（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）||
∴•|F₁F₂|•|y₀|=（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）||
即×2c•|y₀|=（2a+2c）||，
∴2c=a，
∴橢圓C的離心率e==
故選A
點評：本題考查了橢圓的標準方程和幾何意義，重心坐標公式，三角形內(nèi)心的意義及其應(yīng)用，橢圓離心率的求法