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13.橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,過F1斜率為1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,且AF1=3F1B
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)點P(0,-1),|PA|=|PB|,求橢圓C的方程.

分析 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(xiàn)1(-c,0),由|AF1|=3|F1B|知:y1=-3y2.l:x=y-c,代入橢圓C的方程,整理得(a2+b2)y2-2b2cy-b4=0,再利用根與系數(shù)的關(guān)系,即可得出.
(2)由(1)c=b,3y2-2by-b2=0,設(shè)AB中點為M(x0,y0),再利用中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式即可得出.

解答 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),F(xiàn)1(-c,0),
由|AF1|=3|F1B|知:y1=-3y2…①
l:x=y-c,代入橢圓C的方程,整理得(a2+b2)y2-2b2cy-b4=0,
y1+y2=2b2ca2+b2…②,y1y2=b4a2+b2…③
由①②③得:a=2b,故e=22
(2)由(1)c=b,3y2-2by-b2=0,
設(shè)AB中點為M(x0,y0),則y0=12y1+y2=3x0=y0c=2b3
又kPM=-1,得1=3+12b3,解得b=3,a2=18,
故橢圓C的方程為x218+y29=1

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式、向量坐標(biāo)運算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習(xí)冊系列答案
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