Question

16．如圖1，由正四棱錐P-ABCD和正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁所組成的幾何體的三視圖如圖2．
（1）求證：PC⊥平面A₁BD；
（2）求點P到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AC交BD于O，并連接PO、A₁O．利用正四棱錐P-ABCD，可得PC⊥BD．利用勾股定理的逆定理可得：PA⊥PC．利用三視圖可得：四邊形POA₁A為平行四邊形，可得OA₁⊥PC，即可證明：PC⊥平面A₁BD．
（2）由（1）知PA∥OA₁，故點P到平面A₁BD的距離即為點A到平面A₁BD的距離，利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 （1）證明：如圖，連接AC交BD于O，并連接PO、A₁O．
∵正四棱錐P-ABCD，∴PC⊥BD，
又由三視圖知，$PO=\sqrt{2}$，AB=BC=2，∴$AC=2\sqrt{2}$，
∴PA⊥PC，
又易知$PO=A{A_1}=\sqrt{2}$且PO∥AA₁，∴四邊形POA₁A為平行四邊形，
∴PA∥OA₁，故OA₁⊥PC，
又OA₁∩BD=O，
因此PC⊥平面A₁BD．
（2）解：由（1）知PA∥OA₁，故點P到平面A₁BD的距離即為點A到平面A₁BD的距離，
又易知平面AA₁O⊥平面A₁BD，且平面AA₁O∩平面A₁BD=A₁O，
故過A作AE⊥A₁O，垂足為E，則AE⊥平面A₁BD，AE即為點A到平面A₁BD的距離，
又由已知，$AO=A{A_1}=\sqrt{2}$，∴A₁O=2，∴$AE=\frac{{AO•A{A_1}}}{{{A_1}O}}=1$，
因此點P到平面A₁BD的距離為1．

點評 本題考查了空間位置關系、線面平行與垂直的判定及其性質定理、勾股定理的逆定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．