![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d618d92813a.png)
(1)證明:∵AB是圓柱ABFG的母線,C是點A關于點B對稱的點,
∴AC垂直圓柱的底面,即AC⊥平面BDF,(1分)
∵BE?平面BDF,∴BE⊥AC(2分)
∵DE是圓柱上底面的直徑,∴BE⊥BD(3分)
∵AC?平面ACD,BD?平面ACD,且AC∩BD=B(4分)
∴BE⊥平面ACD(5分)
(2)解:∵DE是圓O的直徑,
∴∠DBE是直角,DE=BF=2AB=4
設BD=x,(0<x<4),在直角△BDE中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232753.png)
,(6分)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232754.png)
,(8分)
當且僅當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232755.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/314.png)
時“=”成立,(9分)
∵三棱錐D-BCE的體積等于三棱錐C-DBE的體積,而三棱錐C-DBE的高BC=2,
∴△BDE的面積最大時,三棱錐的體積也最大,
此時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232756.png)
,即△BDE是等腰直角三角形 (10分)
∴BO⊥DE
∵AC⊥DE,AC∩BO=O
∴DE⊥平面AOC(11分)
連接CO,AO,而有CO⊥DE,AO⊥DE,∴∠AOC是二面角C-DE-A的平面角 (12分)
在△AOC中,∠AOC=∠BOC+∠AOB
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232757.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232758.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232759.png)
同理可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/89281.png)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232760.png)
(13分)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/232761.png)
,即二面角C-DE-A的平面角的余弦值為0.(14分)
分析:(1)證明BE⊥平面ACD,關鍵是證明BE垂直于平面中的兩條相交直線,即證BE⊥AC,而DE是圓柱上底面的直徑,所以BE⊥BD,故可得結論;
(2)△BDE的面積最大時,三棱錐的體積也最大,此時△BDE是等腰直角三角形,從而可知DE⊥平面AOC,連接CO,AO,而有CO⊥DE,AO⊥DE,可得∠AOC是二面角C-DE-A的平面角,進而可求二面角C-DE-A的平面角的余弦值.
點評:本題考查線面垂直,考查面面角,考查三棱錐的體積,解題的關鍵是掌握線面垂直的判定,正確作出面面角.