Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)明確的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類(lèi)討論極值點(diǎn)與區(qū)間[m，2m]的位置關(guān)系，從而確定函數(shù)f（x）在[m，2m]上的單調(diào)性，即可求函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，而x＞0，可得0＜x＜e，
令f′（x）＜0，可得x＞e，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）；
（2）①當(dāng)0＜2m≤e，即0＜m≤$\frac{e}{2}$時(shí)，由（1）知，函數(shù)f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2m）=$\frac{ln（2m）}{2m}$，
②當(dāng)m≥e時(shí)，由（1）知，函數(shù)f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（m）=$\frac{lnm}{m}$，
③當(dāng)m＜e＜2m，即$\frac{e}{2}$＜m＜e時(shí)，由（1）知，函數(shù)f（x）在[m，e]上單調(diào)遞增，（e，2m]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．