【題目】在直角坐標系中，動點（其中）到點的距離的倍與點到直線的距離的倍之和記為，且.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與軌跡交于兩點，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列出方程，化簡即可求得；

（Ⅱ）分析可知，曲線只包括部分圖像，分兩種具體情況討論：當斜率不存在時和斜率存在時，先確定弦長對應斜率的范圍，聯(lián)立直線與橢圓的方程結合韋達定理表示出根與系數(shù)關系，利用焦半徑公式表示出，，結合前式韋達定理表示出關于的表達式，利用不等式性質即可求解

（Ⅰ）依題意，，

化簡得，

點的軌跡的方程為（）．

（Ⅱ）將代入曲線方程，解得，設點，．

由（Ⅰ）知，軌跡是橢圓在直線的右側的部分（包括點）．

可求出直線的斜率為，直線的斜率為.

（1）當直線的斜率不存在時，設，，

此時，.

（2）當直線的斜率存在時，直線的方程為.

由已知，直線與軌跡交于兩點，

則或.

設，，

由（Ⅰ）知，，，

所以

由，得.

則，

所以

因為或，

所以，

所以，

所以，即.

綜上可知，．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線：的左、右焦點分別是、，左、右兩頂點分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點如圖)．

⑴若是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角；

⑵若，，，，試求雙曲線的方程；

⑶在⑴的條件下，且，點C與雙曲線的頂點不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由．

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【題目】對于數(shù)列，若存在常數(shù)M，使得對任意，與中至少有一個不小于M，則記作，那么下列命題正確的是（ ）．

A.若，則數(shù)列各項均大于或等于M；

B.若，則；

C.若，，則；

D.若，則；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，，其中.

(1)若，證明：當時，；

(2)設，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

①證明恰有兩個零點；

②設如為的極值點，為的零點，且，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中，設邊，，所對的角分別為，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，三棱柱中，，、分別是、的中點.

（1）求證：平面；

（2）若平面，，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】目前，青蒿素作為一線抗瘧藥品得到大力推廣某農科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產量的影響，在山上和山下的試驗田中分別種植了株青蒿進行對比試驗.現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產量（單位：克）如下表所示：

編號位置

①

②

③

④

山上

山下

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計山下試驗田青蒿素的總產量；

（2）記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產量的方差分別為，，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計與的大小關系（只需寫出結論）；

（3）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取株，記這株的產量總和為，求的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)f（x），若a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三邊長，則稱f（x）為“可構造三角形函數(shù)”．以下說法正確的是（ ）

A.f（x）=1（x∈R）不是“可構造三角形函數(shù)”

B.“可構造三角形函數(shù)”一定是單調函數(shù)

C.f（x）=是“可構造三角形函數(shù)”

D.若定義在R上的函數(shù)f（x）的值域是（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則f（x）一定是“可構造三角形函數(shù)”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且此拋物線的準線被橢圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線交橢圓于、兩點，線段的中點為，直線是線段的垂直平分線，試問直線是否過定點？若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．

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