Question

【題目】已知平行四邊形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示：

（1）求證：AB⊥CD；
（2）若M為AD的中點，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD，

又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD與平面BCD的交線，

∴AB⊥面BCD，

∵CD平面BCD，∴AB⊥CD．

（2）解：以B為原點，在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸，

BD為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，

則B（0，0，0），C（1，1，0），

D（0，1，0），A（0，0，1），M（0， ），

，

面ABM的法向量為 =（1，0，0），

設平面BMC的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，1），

cos＜ ＞= = = ，

觀察知二面角A﹣BM﹣C為鈍角，

故二面角A﹣BM﹣C的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）推導出AB⊥BD，從而AB⊥面BCD，由此能證明AB⊥CD．（2）以B為原點，在平面BCD中過B作BD的垂線為x軸，BD為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．