Question

在楊輝三角形中，每一行除首末兩個數(shù)之外，其余每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
（1）試用組合數(shù)表示這個一般規(guī)律；
（2）在數(shù)表中試求第n行（含第n行）之前所有數(shù)之和；
（3）試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3：4：5，并證明你的結論．
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　 1　1
第2行　　　　　　1　2　1
第3行　　　　　1　3　3　1
第4行　　　　1　4　6　4　1
第5行　　　1　5　10　10　5　1
第6行　　1　6　15　20　15　6　1．

Answer 1

解：（1）設表中任一不為1的數(shù)為，它肩上的兩個數(shù)分別為，則有；
（2）楊輝三角中第n行的所有數(shù)可以看做是二項展開式的所有二項式系數(shù)的和，取x=1可得第n行的所有數(shù)字和為2ⁿ，所以數(shù)表中第n行（含第n行）之前所有數(shù)之和為1+2+2²+…+2ⁿ
==2ⁿ⁺¹-1；
（3）設，
由，得，即3n-7r+3=0 ①
由，得，即4n-9r-5=0 ②
聯(lián)立①②解得n=62，r=27．
所以在楊輝三角形的某一行能出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3：4：5．
分析：（1）從楊輝三角形中的數(shù)字看出，每一行除首末兩個數(shù)之外，其余每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和，符合組合數(shù)的第二條性質；
（2）楊輝三角中第n行的所有數(shù)是二項展開式的所有二項式系數(shù)的和，取x=1可得第n行的所有數(shù)字和為2ⁿ，然后利用等比數(shù)列求和；
（3）假設在楊輝三角形的某一行能出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3：4：5，由此列兩個關于n和r的方程組，能夠解出對應的n和r的值，說明假設成立．
點評：本題考查了組合及組合數(shù)公式，考查了類比推理，解答此題的關鍵是明確楊輝三角中的每一行的數(shù)都是在n取不同值時的二項展開式的二項式系數(shù)，是基礎題．