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已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的兩準線間的距離為2，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點的橫坐標是，求橢圓的方程

解法一：

令橢圓方程為，由題得：，

由可得，

又即  

橢圓方程為

解法二：

令橢圓方程為，由題得：，

由作差得

又即  

橢圓方程為


解析:

橢圓中心定，焦點定，所以橢圓的位置定，而且由準線方程可得一個方程，還有一個方程怎么找？根據直線與橢圓相交，可聯立方程組，利用韋達定理解決，事實上就是把交點問題化歸為方程根的問題，有關中點問題還可設弦的兩端點坐標代入橢圓方程相減，式中含有三個未知量，但直接聯系了中點和直線的斜率，同樣可得到a與b的關系（點差法）從而解決問題，但兩者又各有弊端：韋達定理解決過程中易漏解，需關注直線的斜率問題；點差法則在確定范圍方面略顯不足。

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是點（0，
5
），離心率為
6
6
，左、右焦點分別為F1和F2．
（1）求橢圓方程；
（2）點M在橢圓上，求△MF1F2面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使
PF1
•
PF2
=0，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是點（0，數學公式），離心率為數學公式，左、右焦點分別為F1和F2．
（1）求橢圓方程；
（2）點M在橢圓上，求△MF1F2面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使數學公式，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：順德區(qū)模擬 題型：解答題

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是點（0，
5
），離心率為
6
6
，左、右焦點分別為F1和F2．
（1）求橢圓方程；
（2）點M在橢圓上，求△MF1F2面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使
PF1
•
PF2
=0，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年安徽省合肥一中高二（上）期末數學復習試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓的一個頂點是點（0，），離心率為，左、右焦點分別為F1和F2．
（1）求橢圓方程；
（2）點M在橢圓上，求△MF1F2面積的最大值；
（3）試探究橢圓上是否存在一點P，使，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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