Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量

b

=（

3

，-1），若|2

a

-

b

|＜m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，化簡|2

a

-

b

|的解析式為

8-8cos(θ+ π 6 )

，再根據(jù)θ∈[0，π]，利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得|2

a

-

b

||的最大值，可得m的范圍．

解答： 解：由題意可得，|2

a

-

b

|=

(2 a - b )2

=

4 a 2-4 a • b + b 2

=

4-4( 3 cosθ-sinθ)+4

=

8-8( 3 2 cosθ- 1 2 sinθ)

=

8-8cos(θ+ π 6 )

．
∵θ∈[0，π]，∴θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴cos（θ+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，
∴|2

a

-

b

|的最大值為4．
若|2

a

-

b

|＜m恒成立，則 m＞4，
故答案為：（4，+∞）．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．