Question

當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，證明：

2x

π

x＜sinx＜x．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)線

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角函數(shù)線的定義畫出圖象，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的圖形，利用圖象的面積大小關(guān)系證明sinx＜x；在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出y=sinx和y=

2x

π

的圖形，利用圖象的位置關(guān)系證明

2x

π

＜sinx．

解答： 證明：如圖由三角函數(shù)線的定義可知，

sinx=MP，cosx=OM，tanx=AT，
∵x∈（0，

π

2

）時(shí)，且S_△AOP＜S_扇形AOP，
∴

1

2

×OA×MP＜

1

2

×x×OA2
則MP＜x，即sinx＜x，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出y=sinx和y=

2x

π

圖象如下圖所示：

由圖得，當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，直線y=

2x

π

在y=sinx下方，
則

2x

π

＜sinx
綜上得，

2x

π

＜sinx＜x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)線的定義，正弦函數(shù)的圖象等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．