Question

已知圓心（a，b）（a＜0，b＜0）在直線y=2x+1上的圓，若其圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑，在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2

5

，則圓的方程為（　　）

• A、（x+2）²+（y+3）²=9
• B、（x+3）²+（y+5）²=25
• C、(x+6)2+(y+

  7

  3

  )2=

  49

  9

• D、(x+

  2

  3

  )2+(y+

  7

  3

  )2=

  49

  9

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)M作MA垂直于x軸，MB垂直于y軸，連接MC，由垂徑定理得到B為CD中點(diǎn)，由|CD|求出|BC|，由圓與x軸垂直得到圓與x軸相切，所以MA和MC為圓M的半徑，在直角三角形MBC中，由|MB|=|a|，|MC|=|MA|=|b|及|BC|，利用勾股定理列出關(guān)于a與b的方程，再把M的坐標(biāo)代入到直線y=2x+1中，又得到關(guān)于a與b的另一個(gè)方程，聯(lián)立兩方程即可求出a與b的值，從而確定出圓心M的坐標(biāo)，及圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫(xiě)出圓的方程即可．

解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
過(guò)M作MA⊥x軸，MB⊥y軸，連接MC，
由垂徑定理得到B為CD中點(diǎn)，又|CD|=2

5

，
∴|CB|=

5

，
由題意可知圓的半徑|MA|=|MC|=|b|，|MB|=|a|，
在直角三角形BC中，根據(jù)勾股定理得：b²=a²+（

5

）²，①
又把圓心（a，b）代入y=2x+1中，得b=2a+1，②
聯(lián)立①②，解得：a=-2，b=-3，
所以圓心坐標(biāo)為（-2，-3），半徑r=|-3|=3，
則所求圓的方程為：（x+2）²+（y+3）²=9．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，垂徑定理及勾股定理．根據(jù)圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑得到所求的圓與x軸相切，進(jìn)而求出圓的半徑為|b|是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．