已知圓心(a,b)(a<0,b<0)在直線y=2x+1上的圓,若其圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑,在y軸上截得的弦長(zhǎng)為2
5
,則圓的方程為(  )
A、(x+2)2+(y+3)2=9
B、(x+3)2+(y+5)2=25
C、(x+6)2+(y+
7
3
)2=
49
9
D、(x+
2
3
)2+(y+
7
3
)2=
49
9
分析:根據(jù)題意畫(huà)出圖形,過(guò)M作MA垂直于x軸,MB垂直于y軸,連接MC,由垂徑定理得到B為CD中點(diǎn),由|CD|求出|BC|,由圓與x軸垂直得到圓與x軸相切,所以MA和MC為圓M的半徑,在直角三角形MBC中,由|MB|=|a|,|MC|=|MA|=|b|及|BC|,利用勾股定理列出關(guān)于a與b的方程,再把M的坐標(biāo)代入到直線y=2x+1中,又得到關(guān)于a與b的另一個(gè)方程,聯(lián)立兩方程即可求出a與b的值,從而確定出圓心M的坐標(biāo),及圓的半徑,根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫(xiě)出圓的方程即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:根據(jù)題意畫(huà)出圖形,如圖所示:
過(guò)M作MA⊥x軸,MB⊥y軸,連接MC,
由垂徑定理得到B為CD中點(diǎn),又|CD|=2
5
,
∴|CB|=
5

由題意可知圓的半徑|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,
在直角三角形BC中,根據(jù)勾股定理得:b2=a2+(
5
2,①
又把圓心(a,b)代入y=2x+1中,得b=2a+1,②
聯(lián)立①②,解得:a=-2,b=-3,
所以圓心坐標(biāo)為(-2,-3),半徑r=|-3|=3,
則所求圓的方程為:(x+2)2+(y+3)2=9.
故選A
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,垂徑定理及勾股定理.根據(jù)圓心到x軸的距離恰好等于圓的半徑得到所求的圓與x軸相切,進(jìn)而求出圓的半徑為|b|是解本題的關(guān)鍵,同時(shí)運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力.
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  1. A.
    (x+2)2+(y+3)2=9
  2. B.
    (x+3)2+(y+5)2=25
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式

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A.(x+2)2+(y+3)2=9
B.(x+3)2+(y+5)2=25
C.
D.

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A.(x+2)2+(y+3)2=9
B.(x+3)2+(y+5)2=25
C.
D.

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A.(x+2)2+(y+3)2=9
B.(x+3)2+(y+5)2=25
C.
D.

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