已知f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),且滿足f(4)=1,對(duì)任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<0.
(1)求f(1);              
(2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3.
分析:(1)由已知中f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=1,可得f(1)的值;
(2)由f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),可得f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
),結(jié)合x(chóng)∈(0,1)時(shí),f(x)<0.及增函數(shù)的定義可證得結(jié)論
(3)令x1=x2=4,可得f(16)=2,x1=4,x2=16,可得f(64)=3,結(jié)合f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),及(2)中函數(shù)的單調(diào)性,可將不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的不等式組.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用
解答:解:(1)∵對(duì)任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
令x1=x2=1,
f(1•1)=f(1)+f(1),
則f(1)=0(2分)
(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,
∵對(duì)任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
∴則f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2

∵0<x1<x2,
∴0<
x1
x2
<1,又當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)=f(
x1
x2
)<0
,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)(7分)
(3)令x1=x2=4,則f(16)=f(4)+f(4)=2,
令x1=4,x2=16,則f(64)=f(4)+f(16)=3(9分)
∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3=f(64)
結(jié)合f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)恒成立
3x+1>0
2x-6>0
(3x+1)(2x-6)≤64

∴x∈(3,5](12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性證明,以及賦值法的應(yīng)用,屬于中檔題,在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法以及賦值法等知識(shí).值得同學(xué)們體會(huì)和反思.
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2
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(1)求b,c的值;及f(x)在x>0時(shí)的表達(dá)式;
(2)求f(x)在x<0時(shí)的表達(dá)式;
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=ax(a∈R)有解,求a的取值范圍.

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12
)的定義域.

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