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3.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知sinB=cosA•sinC,并且三邊長a、b、c成等差數(shù)列.
(I)求cosB的值;
(Ⅱ)若G是△ABC的重心,求cos∠AGC的值.

分析 (1)使用正余弦定理將角化邊結(jié)合a,b,c成等差數(shù)列得出a,b,c之間的關(guān)系得出;
(2)利用重心的性質(zhì)用a表示出△AGC的三條邊,使用余弦定理解出余弦值.

解答 解:(1)在△ABC中,∵sinB=cosA•sinC,∴b=2+c2a22bc•c,∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形,C=90°.
∵a、b、c成等差數(shù)列,∴a+c=2b,即c=2b-a,
∴a2+b2=(2b-a)2,即b=4a3.∴c=2b-a=5a3
∴cosB=ac=35
(2)設(shè)AB中點(diǎn)為D,BC中點(diǎn)為E,則CD=12AB=5a6,∴CG=23CD=5a9
由勾股定理得AE=AC2+CE2=2+a24=73a6.∴AG=23AE=73a9
在△ACG中,由余弦定理得cos∠AGC=AG2+CG2AC22AGCG=73a281+25a28116a292×73a9×5a9=-2373365

點(diǎn)評 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.

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A.\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrowB.-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrowC.\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrowD.-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow

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(1)將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程,將曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)P為曲線C1上的點(diǎn),求P到曲線C2的距離的最小值.

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同步練習(xí)冊答案
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