已知拋物線x2=4y的焦點為F,準線與y軸的交點為M,N為拋物線上的一點,且滿足|NF|=λ|MN|,則λ的取值范圍是________.
[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4372.png)
,1]
分析:由題意可得F(0,1),M(0,-1),過點N作NH垂直于準線y=-1,垂足為H,由條件可得λ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6728.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462918.png)
,當點N與原點O重合時,|NH|=|MN|,λ有最大值為1;當直線MN和拋物線相切時,λ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462918.png)
=sinθ 有最小值.求出切線的斜率,可得sinθ的值,即為λ 的最小值.
解答:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d61e35aaab3.png)
解:由題意可得F(0,1),M(0,-1),過點N作NH垂直于準線y=-1,垂足為H,
由拋物線的定義可得|NF|=|NH|.
由條件可得λ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6728.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462918.png)
,如圖所示:
故當點N與原點O重合時,|NH|=|MN|,λ有最大值為1.
當直線MN和拋物線相切時,λ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/462918.png)
=sinθ 有最小值,這里 θ=∠NMF.
設當直線MN和拋物線相切時,MN的方程為 y+1=kx,代入拋物線方程化簡可得x
2-4kx+4=0.
由題意可得,此方程的判別式△=0,即 16k
2-16=0,∴k=±1,即 tanθ=1,
故sinθ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,故λ 的最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
.
綜上可得 λ∈[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,1],
故答案為[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
,1].
點評:本題主要考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,屬于中檔題.