Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（f（x））=a存在2個實數(shù)根，則a的取值范圍為（　�。�

• A． [-24，0）
• B． （-∞，-24）∪[0，2）
• C． （-24，3）
• D． （-∞，-24]∪[0，2]

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合分類討論，可得不同情況下方程f（f（x））=a根的個數(shù)，綜合可得答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

令t=f（x），則t∈（-∞，3]，
當a＞3時，方程f（f（x））=f（t）=a無實根，方程f（f（x））=a存在0個實數(shù)根，
當2≤a≤3時，f（t）=a有1實根，t∈[0，1]，f（x）=t此時有1實根，故方程f（f（x））=a存在1個實數(shù)根，
當0≤a＜2時，f（t）=a有1實根，t∈[-2，0），f（x）=t此時有2實根，故方程f（f（x））=a存在2個實數(shù)根，
當-24≤a＜0時，f（t）=a有2實根，t₁∈[-26，-2），f（x）=t此時有2實根，t₂∈（1，3]，f（x）=t此時有1實根，故方程f（f（x））=a存在3個實數(shù)根，
當a＜-24時，f（t）=a有2實根，t₁∈（-∞，-26），f（x）=t此時有2實根，t₂∈（3，+∞），f（x）=t此時無實根，故方程f（f（x））=a存在2個實數(shù)根，
綜上所述：a∈（-∞，-24）∪[0，2），
故選：B

點評 本題考查的知識點是根的存在性及個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，難度中檔．