Question

4．已知橢圓C過點A（1，$\frac{3}{2}$），兩個焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．求橢圓C的方程及離心率．

Answer 1

分析 由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，且c=1，設設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，（a＞1），將A（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程，即可求得a的值，求得橢圓方程，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：由題意可知：焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），橢圓的焦點在x軸上，c=1，
則設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1$，（a＞1），將A（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程，
則$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4（{a}^{2}-1）}$=1，4a⁴-17a²+4=0，解得：a²=$\frac{1}{4}$，a²=4，
由a＞1，
∴a²=4，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，離心率$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查橢圓的離心率公式，考查計算能力，屬于基礎題．