Question

設(shè)函數(shù)f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)．
（1）若a=1，求證：對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（x）≥3-x
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）a=1時，f（x）=lnx+

2

x

，定義域是x＞0，設(shè)F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+

2

x

-3，由F（x）_min=F（1）=0，能夠證明f（x）≥3-x．
（2）由f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)，知f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

ax-2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，再由實數(shù)a的范圍，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：（1）證明：a=1時，f（x）=lnx+

2

x

，定義域是x＞0，
設(shè)F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+

2

x

-3，
F′（x）=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=0，
x²+x-2=0
∴x=1，x=-2（舍去）
當(dāng)F′（x）＞0時，x＞1；
當(dāng)F′（x）=0時，x=1；
當(dāng)F′（x）＜0時，x＞1．
∴F（x）_min=F（1）=0+1+2-3=0
∴F（x）≥0，
∴f（x）≥3-x．
（2）解：∵f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)，
∴f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

ax-2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，
①當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0得，x＞2a；由f′（x）＜0得，x＜2a．
∴f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)的增區(qū)間是（2a，+∞），減區(qū)間是（0，2a）．
②當(dāng)a＜0時，由f′（x）＜0恒成立，故f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)在（0，+∞）遞減．

點評：本題考查不等式的證明，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化，合理地運用導(dǎo)數(shù)知識解題．