Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）為偶函數(shù)（0＜φ＜π，ω＞0），且函數(shù)y=f（x）圖象的相鄰對(duì)稱軸的距離為

π

2

（1）求f（

π

8

）  
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由函數(shù)是偶函數(shù)求得φ，再由函數(shù)y=f（x）的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸的距離為

π

2

求得函數(shù)周期，由周期公式求ω，則可求f（

π

8

）；
（2）由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，
∴φ=

π

2

+kπ，k∈Z，
又0＜φ＜π，∴φ=

π

2

．
由函數(shù)y=f（x）的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸的距離為

π

2

，得

T

2

=

π

2

，
∴T=π，則ω=2．
∴f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x；
∴f（

π

8

）=2cos（2×

π

8

）=

2

．
（2）∵由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z可解得：kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是：[kπ，kπ+

π

2

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，是中檔題．