（本小題滿分14分）已知橢圓兩焦點分別為、,是橢圓在第一象限弧上的一點，并滿足,過點作傾斜角互補的兩條直線、分別交橢圓于、兩點.
（1）求點坐標；
（2）證明：直線的斜率為定值，并求出該定值；
（3）求△面積的最大值.
（1）點P的坐標為
（2）直線AB斜率為定值，值為.
（3）△PAB面積的最大值為.
解：（1）由題可得
則
           ①
在曲線上，則  ②
由①②得，則點P的坐標為 ………（4分）
（2）設(shè)直線PA斜率K，則直線PB斜率-K，設(shè)，
則直線與橢圓方程聯(lián)立得：

由韋達定理：
同理求得


綜上，直線AB斜率為定值，值為.     …………（9分）
（3）設(shè)AB的直線方程：
由 ，得
由
P到AB的距離為,
則

當且僅當時取等號，
△PAB面積的最大值為.   …………（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．
（Ⅰ）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；
（Ⅱ）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知三點
(1).求以為焦點且過點P的橢圓的標準方程；
(2)設(shè)點P, 關(guān)于直線的對稱點分別為,求以為焦點且過點的雙曲線的標準方程。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（14分）設(shè)F1、F2分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點.
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（2）設(shè)點K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段F1K的中點的軌跡方程；
（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中假命題是                                                （   ）
A．+=1的焦點坐標為（0,4）和（0，—4）.
B．過點（1，1）且與直線x－2y+=0垂直的直線方程是2x + y－3=0.
C．離心率為的雙曲線的兩漸近線互相垂直.
D．在平面內(nèi)，到定點的距離與到定直線距離相等的點的軌跡是拋物線.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點,為右焦點，若,則橢圓的離心率為（  ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的一點，若的內(nèi)切圓半徑為1，則點P到x軸的距離為（  ）
A．B．C．3D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若是橢圓的兩個焦點，過作直線與橢圓交于A，B兩點，的周長為              

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知A、B，以AB為一腰作使∠DAB=直角梯形ABCD，且，CD中點的縱坐標為1．若橢圓以A、B為焦點且經(jīng)過點D，則此橢圓的方程為
A．    B．    C．   D．

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