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已知數列{an}的前n項和為Sn,滿足2+2Sn=3an(n∈N*).數列bn=
(1)求證:數列{an}為等比數列;
(2)若對于任意n∈N*,不等式bn≥(n+1)λ恒成立,求實數λ的最大值;
(3)對于數列{bn}中值為整數的項,按照原數列中前后順序排列得到新的數列{cn},求數列{cn}的通項公式.
【答案】分析:(1)由已知中2+2Sn=3an,n∈N*,我們可以得到 ,根據等比數列的定義,即可得到數列{an}為等比數列;
(2)由(1)中結論,我們易求出數列{bn}的通項公式,下面分類討論:①當n=1時,b1≥2λ,②n≥2時,令f(n)=,利用f(n)=,(n≥2)為遞增數列.f(n)min=,從而λ的最大值.
(3)根據當n=2k-1(k≥2)時,及當n=2k(k≥1)時,求出cn的解析式,
解答:解:(1)a1=2,2+2Sn=3an,2+2Sn+1=3an+1,
所以2an+1=3an+1-3an,
即:恒成立.
所以,{an}為以2為首項,公比為3的等比數列.
(2)bn=
①n=1時,b1≥2λ,
②n≥2時,≥(1+n)λ,λ≤
令f(n)=,f(n+1)-f(n)=≥0(n≥2)
所以,f(n)=,(n≥2)為遞增數列.f(n)min=,
從而
由①,②知 ,所以λ的最大值等于
(3)c1=1
當n=2k-1(k≥2)時,cn=2×
當n=2k(k≥1)時,cn=
點評:本題以數列遞推式為依托,主要考查等比關系的確定,數列的函數特征,數列遞推式,數列與不等式的綜合.其中(1)的關鍵是根據等比數列的定義,證得 為定值,但要注意由限制首項不為0.
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