在平面直角坐標系x0y中，拋物線y2=2x的焦點為F，若M是拋物線上的動點，則
|MO||MF|
的最大值為
 
．
分析：設M 到準線x=-
1
2
 的距離等于d，由拋物線的定義可得
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
，化簡為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
，令m-
1
4
=t，則m=t+
1
4
，
|MO|
|MF|
=
1+
1
t+
3
2
+
9
16t
，利用基本不等式求得最大值．
解答：解：焦點F（
1
2
，0），設M（m，n），則n2=2m，m＞0，設M 到準線x=-
1
2
 的距離等于d，
則
|MO|
|MF|
=
|MO|
d
=
m2+n2
m+
1
2
=
m2+2m
m+
1
2
=
m2+2m
m2+m+
1
4
=
m2+2m
m2+m+
1
4

=
m2+m+m+
1
4
-
1
4
m2+m+
1
4
=
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
．令 m-
1
4
=t，t＞-
1
4
，則 m=t+
1
4
，
|MO|
|MF|
=
1+
t
t2+
3
2
t+
9
16
=
1+
1
t+
3
2
+
9
16t
≤
1+
1
3
=
2
3
3
（當且僅當 t=
3
4
 時，等號成立）．
故
|MO|
|MF|
的最大值為
2
3
3
，
故答案為
2
3
3
．
點評：本題考查拋物線的定義、簡單性質，基本不等式的應用，體現(xiàn)了換元的思想，把
|MO|
|MF|
化為
1+
m-
1
4
m2+m+
1
4
，是解題的關鍵和難點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，設直線y=
3
x+2m和圓x2+y2=n2相切，其中m，n∈N，0＜|m-n|≤1，若函數(shù)f（x）=mx+1-n的零點x0∈（k，k+1）k∈Z，則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•鹽城二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2+
y2
4
=1在第一象限的部分為曲線C，曲線C在其上動點P（x0，y0）處的切線l與x軸和y軸的交點分別為A、B，且向量
OM
=
OA
+
OB
．
（1）求切線l的方程（用x0表示）；
（2）求動點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標系xOy中．橢圓C：
x2
2
+y2=1的右焦點為F，右準線為l．
（1）求到點F和直線l的距離相等的點G的軌跡方程．
（2）過點F作直線交橢圓C于點A，B，又直線OA交l于點T，若
OT
=2
OA
，求線段AB的長；
（3）已知點M的坐標為（x0，y0），x0≠0，直線OM交直線
x0x
2
+y0y=1于點N，且和橢圓C的一個交點為點P，是否存在實數(shù)λ，使得
OP
2=λ
OM
•
ON
？，若存在，求出實數(shù)λ；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xoy（O為坐標原點）中，橢圓E1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點在圓E2：x2+y2=a+b上，且橢圓的離心率是
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E1和圓E2的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過圓E2上的一點P（x0，y0）的直線l，使l與圓E2相切，與橢圓E1有兩個不同的交點A、B，且
OA
•
OB
=3？若存在，求出點P的橫坐標x0的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南京二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點A(
a
2
，
a
2
)，B(
3
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（x0，y0）在橢圓C上，F(xiàn)為橢圓的左焦點，直線l的方程為x0x+3y0y-6=0．
①求證：直線l與橢圓C有唯一的公共點；
②若點F關于直線l的對稱點為Q，求證：當點P在橢圓C上運動時，直線PQ恒過定點，并求出此定點的坐標．

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