Question

【題目】由直線，，，，，組成的圖形中，共有同旁內(nèi)角______對(duì).

Answer 1

【答案】82

【解析】

首先指出，在“三線八角”基本圖形中，一個(gè)“三線八角”圖形與其截線上的一條線段構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，

而一個(gè)基本圖形上有2對(duì)同旁內(nèi)角，因而，計(jì)算同旁內(nèi)角可轉(zhuǎn)化為計(jì)算截線上的線段條數(shù)來(lái)解決，

問(wèn)題只是，出現(xiàn)多重交點(diǎn)時(shí)，討論要細(xì)致一些.

作出所給直線的圖象（如圖），先計(jì)算圖中的基本圖形個(gè)數(shù).

(1)以直線為截線.

由圖可見(jiàn)，此截線與4條直線相交得4個(gè)交點(diǎn)，

從這4個(gè)交點(diǎn)中取出兩個(gè)作截點(diǎn)（相當(dāng)于兩條直線被所截），

對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形，共得基本圖形（個(gè)）.

(2)以直線為截線，

由圖可見(jiàn)，此截線與4條直線相交有4個(gè)交點(diǎn)，同理可得基本圖形（個(gè)）.

(3)以直線為截線，

由圖可見(jiàn)，此截線與5條直線相交有5個(gè)交點(diǎn)，同理可得基本圖形（個(gè)）.

(4)以為截線，

由圖可見(jiàn)，此截線與5條直線相交于4個(gè)交點(diǎn)，其中原點(diǎn)為二重交點(diǎn)，

在計(jì)算基本圖形時(shí)要計(jì)算兩次，

考慮更一般的情況，設(shè)截線與若干條直線相交于、、、，其中點(diǎn)上與條直線相交，如圖所示.

1)當(dāng)取為第一個(gè)截點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)截點(diǎn)可取、、之一，

對(duì)應(yīng)基本圖形有（個(gè)）.①

2)當(dāng)取為第一個(gè)截點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)截點(diǎn)可取、之一，

對(duì)應(yīng)基本圖形有（個(gè)）. ②

3)當(dāng)取為第一個(gè)截點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)截點(diǎn)可取，

對(duì)應(yīng)基本圖形有（個(gè)）.③

可得以為截線的基本圖形，

有（個(gè)）.④

取，，可得以為截線的基本圖形，

有（個(gè)）.

（5）以為截線.

在式④中取，，得（個(gè)）.

（6）以為截線.

在式④中取，，得（個(gè)）.

相加得.

故同旁內(nèi)角共有82對(duì).