Question

若f（x）=x+

a

x-1

在x≥3時(shí)有最小值4，則a=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由f（x）=x+

a

x-1

，可得f′(x)=1-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-a

(x-1)2

，分子的△=4-4（1-a）=4a．對(duì)a分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)，0＜a≤4時(shí)，a＞4時(shí)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性極值最值的關(guān)系即可得出．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x-1

，∴f′(x)=1-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-a

(x-1)2

，分子的△=4-4（1-a）=4a．
當(dāng)a≤0時(shí)，△≤0，x≥3時(shí)f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值4，∴3+

a

2

=4，解得a=2，與a≤0矛盾，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞0時(shí)，△＞0，令f′（x）=0，解得x=

2±2 a

2

=1±

a

，∴f′(x)=

[x-(1+ a )][x-(1- a )]

(x-1)2

．∵x≥3，∴x-(1-

a

)=x-1+

a

＞2．
①當(dāng)1+

a

≤3即0＜a≤4時(shí)，函數(shù)f（x）在x≥3時(shí)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值4，∴3+

a

2

=4，解得a=2，滿足條件；
②當(dāng)1+

a

＞3即a＞4時(shí)，令f′（x）=0，解得x=1+

a

，可知當(dāng)x=1+

a

時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值4，∴1+

a

+

a

1+ a -1

=4，解得a=

9

4

＜4，不滿足條件，應(yīng)舍去．
綜上可得：只有當(dāng)a=2時(shí)，滿足條件．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．