Question

已知函數f（x）=2x³-3ax²+（a²+2）x-a（a∈R）．
（I）若當x=1時，函數f（x）取得極值，求a的值；
（II）若函數f（x）僅有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調減區(qū)間，從而得出函數的極值情況．
（II）由函數零點的存在定理，我們可以將函數的解析式進行因式分解，最后綜合條件，即可得到f（x）=0有且僅有一個實數解，則實數a的取值可得．
解答：解：f′（x）=6x²-6ax+（a²+2），
（I）f′（1）=6-6a+（a²+2），令f′（x）=0，解得a=2或a=4，
當a=2時，f′（x）=6x²-12x+6=6（x-1）²，顯然f（x）在x=1處不取得極值；
當a=4時，f′（x）=6x²-24x+18=6（x-1）（x-3），
顯然f（x）在x=1處取得極大值．
故a的值為4．
（II）f（x）=2x³-3ax²+（a²+2）x-a
=（2x³-2ax²+2x）-（ax²-a²x+a）
=（x²-ax+1）（2x-a）
得f（x）的一個零點是，又函數f（x）僅有一個零點，
∴△=（-a）²-4×1×1＜0，解得-2＜a＜2，
故a的取值范圍（-2，2）．
點評：本題考查了函數在某點取得極值的條件、利用導數研究函數的極值，函數零點的判定定理，屬于基礎題．