Question

已知x，y滿足

x≥0 y≤x 2x+y+k≤0.

，若z=x+3y的最大值為12，試求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：對(duì)k的取值進(jìn)行討論，分k≥0和k＜0兩種情況進(jìn)行求解．

解答： 解：由于k的不同取值將影響不等式所表示的平面區(qū)域，故應(yīng)對(duì)k的取值進(jìn)行討論．
①若k≥0，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖），由于z=x+3y，所以y=-

1

3

x+

1

3

z，因此當(dāng)直線y=-

1

3

x+

1

3

z經(jīng)過(guò)區(qū)域中的點(diǎn)A（0，-k）時(shí)，
z取到最大值，等于-3k，令-3k=12，得k=-4，這與k≥0相矛盾，舍去．
②若k＜0，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖），
這時(shí)，當(dāng)直線y=-

1

3

x+

1

3

z經(jīng)過(guò)區(qū)域中的點(diǎn)A（-

k

3

，-

k

3

）時(shí)，z取到最大值，等于-

4k

3

，
令-

4k

3

=12，得k=-9．

綜上，所求k的值為-9．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．考查分類討論的思想方法．