Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，{a_n}的前n項和為S_n，a₁+a₃=

3

2

，S₅=5．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=

1

4

，T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1，若不等式2kT_n＜b_n恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a1+a3=

3

2

，S₅=5，建立方程組，求出幾何量，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法求數(shù)列的和，從而問題轉(zhuǎn)化為kn²-（1-k）n-2＜0恒成立，構(gòu)造f（n）=kn²-（1-k）n-2，分類討論，確定f（n）在[1，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵a1+a3=

3

2

，S₅=5，
∴

2a1+2d= 3 2 5a1+10d=5

∴a1=

1

2

，d=

1

4

…（3分）
∴an=

n+1

4

…（5分）
（2）∵an=

n+1

4

，anbn=

1

4

，∴bn=

1

n+1

…（6分）
∴bnbn+1=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=b₁b₂+b2b3+b3b4+…+bnbn+1=

1

2

×

1

3

+

1

3

×

1

4

+

1

4

×

1

5

+…

1

n+1

×

1

n+2

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

…（8分）
∴2kSn-bn=

kn

n+2

-

1

n+1

=

kn2-(1-k)n-2

(n+1)(n+2)

由條件，可知當kn²-（1-k）n-2＜0恒成立時即可滿足條件．
設(shè)f（n）=kn²-（1-k）n-2，
當k＞0時，由二次函數(shù)的性質(zhì)，知kn²-（1-k）n-2＜0不可能恒成立；
當k=0時，f（n）=-n-2＜0恒成立；
當k＜0時，由于對稱軸直線n=

(1-k)

2k

=

1

2k

-

1

2

＜-

1

2

∴f（n）在[1，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴只要f（1）＜0，即可滿足kn²-（1-k）n-2＜0恒成立．
由f(1)=k-(1-k)-2＜0，得k＜

3

2

，又k＜0，∴k＜0
綜上可知，當k≤0時，不等式2kS_n＜b_n恒成立．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求和是關(guān)鍵．