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已知l被l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0的截得的線段長為
154
,且l過點P(2,3),求l的方程.
分析:分直線l的斜率存在和不存在討論,斜率不存在時聯(lián)立直線l和給出的兩直線方程,求出交點,驗證是否符合條件;斜率存在時設出直線方程,和已知兩直線方程聯(lián)立,求出交點,由兩點間的距離公式求k的值,則直線l的方程可求.
解答:解:當直線l的斜率不存在時,直線方程為x=2,
聯(lián)立
x=2
3x+4y-7=0
,解得
x=2
y=
1
4
,
∴兩直線交點為(2,
1
4
)

聯(lián)立
x=2
3x+4y+8=0
,解得
x=2
y=-
7
2

∴兩直線交點坐標為(2,-
7
2
)

∴直線l被l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0的截得的線段長為
15
4
,符合題意;
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-3=k(x-2),
聯(lián)立
y-3=k(x-2)
3x+4y-7=0
,解得
x=
8k-5
4k+3
y=
k+9
4k+3
,
∴兩條直線的交點坐標為(
8k-5
4k+3
,
k+9
4k+3
)

聯(lián)立
y-3=k(x-2)
3x+4y+8=0
,解得
x=
8k-20
4k+3
y=
-14k+9
4k+3
,
∴兩條直線的交點坐標為(
8k-20
4k+3
,
-14k+9
4k+3
)

代入兩點間的距離公式得:(
8k-5
4k+3
-
8k-20
4k+3
)2+(
k+9
4k+3
-
-14k+9
4k+3
)2=(
15
4
)2
,
解得:k=
7
24

∴直線l的方程為:y-3=
7
24
(x-2)
,即7x-24y+58=0.
綜上,直線l的方程為:x=2或7x-24y+58=0.
點評:本題考查了兩條直線的交點坐標,考查了直線的點斜式方程,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法,是基礎的計算題.
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3x-4y-1=0
3x-4y-1=0

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