如圖,橢圓E:的左焦點為F1,右焦點為F2,離心率e=.過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相較于點Q.試探究:在坐標平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8,可得4a=8,即a=2,利用e=,b2=a2-c2=3,即可求得橢圓E的方程.
(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,利用動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P(x,y),可得m≠0,△=0,進而可得P(,),由得Q(4,4k+m),取k=0,m=;k=,m=2,猜想滿足條件的點M存在,只能是M(1,0),再進行證明即可.
解答:解:(Ⅰ)∵過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
∴4a=8,∴a=2
∵e=,∴c=1
∴b2=a2-c2=3
∴橢圓E的方程為
(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0
∵動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P(x,y
∴m≠0,△=0,∴(8km)2-4×(4k2+3)×(4m2-12)=0
∴4k2-m2+3=0①
此時x==,y=,即P(
得Q(4,4k+m)
取k=0,m=,此時P(0,),Q(4,),以PQ為直徑的圓為(x-2)2+(y-2=4,交x軸于點M1(1,0)或M2(3,0)
取k=,m=2,此時P(1,),Q(4,0),以PQ為直徑的圓為(x-2+(y-2=,交x軸于點M3(1,0)或M4(4,0)
故若滿足條件的點M存在,只能是M(1,0),證明如下


故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點M(1,0)
點評:本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系,考查運算能力,考查化歸思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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y2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率e=
3
2
,左右兩個焦分別為F1、F2.過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設橢圓C的左頂點為A,下頂點為B,動點P滿足
PA
AB
=m-4,(m∈R)試求點P的軌跡方程,使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上.

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(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B,動點P滿足

)試求點P的軌跡方程,使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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直線與橢圓相交M、N兩點,且|MN|=1.

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B,動點P滿足

)試求點P的軌跡方程,使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設橢圓C的左頂點為A,下頂點為B,動點P滿足=m-4,(m∈R)試求點P的軌跡方程,使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上.

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如圖,在直角坐標系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率e=,左右兩個焦分別為F1、F2.過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設橢圓C的左頂點為A,下頂點為B,動點P滿足=m-4,(m∈R)試求點P的軌跡方程,使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上.

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