Question

已知f（x）=x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
（Ⅰ） 求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 若對于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)不等式的解集，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)不等式f（x）+t≤2恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴0，5是對應(yīng)方程x²+bx+c=0的兩個根，
即-b=5，c=0，
∴b=-5，c=0，
即f（x）的解析式為f（x）=x²-5x；
（Ⅱ）不等式f（x）+t≤2恒成立等價為不等式x²-5x+t-2≤0恒成立，
設(shè)g（x）=x²-5x+t-2，對稱軸為x=

5

2

，
則由二次函數(shù)的圖象可知在區(qū)間[-1，1]為減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（-1）=t+4，
∴t≤-4．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．