Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1時函數(shù)f（x）取得極值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的極值；
（Ⅱ）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），證明：當x＞1時，g（x）的圖象恒在f（x）的上方．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)在x=1時函數(shù)f（x）取得極值求出a的值，最后根據(jù)f′（x）＜0可求出函數(shù)的減區(qū)間，f′（x）＞0可求出函數(shù)的增區(qū)間；
（II）設F（x）=f（x）-g（x），利用導數(shù)研究函數(shù)F（x）的最大值，從而可判定F（x）的符號，即可證得g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方．

解答： 解：（I）由題可知，函數(shù)的定義域為{x|x＞0}，
f′（x）=

1

x

+2ax-3=

2ax2-3x+1

x

，
∵x=1處函數(shù)f（x）取得極值
∴f′（1）=0，即2a-3+1=0，解得a=1
即f′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

當x∈（0，

1

2

）時，f′（x）＞0，當x∈（

1

2

，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（

1

2

，1）
（II）證明：設F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F(xiàn)′（x）=

1-x

x

∵當x∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0即f（x）＜g（x）恒成立，從而g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題以及不等式的證明，同時考查了計算能力，屬于中檔題．