Question

（1）求函數(shù)y=cos2x+cosx+

5

4

的最大值、最小值及相應(yīng)x的取值集合；
（2）求函數(shù)y=(log2x-2)(log4x-

1

2

)（1≤x≤8）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由y=cos2x+cosx+

5

4

=（cosx+

1

2

）²+

5

4

，能求出函數(shù)y=cos2x+cosx+

5

4

的最大值、最小值及相應(yīng)x的取值集合．
（2）由1≤x≤8，知0≤log₄x≤

3

2

，由y=(log2x-2)(log4x-

1

2

)=（2log₄x-2）（log₄x-

1

2

）=2（log₄x-

3

4

）²+

17

8

．能求出函數(shù)y=(log2x-2)(log4x-

1

2

)（1≤x≤8）的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵y=cos2x+cosx+

5

4

=（cosx+

1

2

）²+

5

4

，
∴當(dāng)cosx=-

1

2

時(shí)，y_min=

5

4

，此時(shí)x的取值集合為{x|x=

2π

3

+2kπ，或x=

4π

3

+2kπ，k∈Z}；
當(dāng)cosx=1時(shí)，y_max=

7

2

，此時(shí)x的取值集合為{x|x=2kπ，k∈Z}．
（2）∵1≤x≤8，∴0≤log₄x≤

3

2

，
∴y=(log2x-2)(log4x-

1

2

)
=（2log₄x-2）（log₄x-

1

2

）
=2（log₄x）²-3log₄x+1
=2（log₄x-

3

4

）²+

17

8

．
∴當(dāng)log₄x=

3

4

時(shí)，y_min=

17

8

；
當(dāng)log₄x=0，或log₄x=

3

2

時(shí)，y_max=

13

4

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意二次函數(shù)的性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．