Question

如圖2－35：在空間四邊形ABCD中，已知BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E為垂足，作AH⊥BE于H，求證：AH⊥平面BCD。

Answer 1

解析:

要證AH⊥平面BCD，只須利用直線和平面垂直的判定定理，證AH垂直于平面BCD中兩條相交直線即可。

證明:取AB中點(diǎn)F，連結(jié)CF、DF，

∵AC＝BC，∴CF⊥AB，

又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF，

又CD平面CDF，∴CD⊥AB

又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，CD⊥AH

又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD。

點(diǎn)評:證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為線線垂直，而線線垂直，又可通過證線面垂直來實(shí)現(xiàn)。在這里，定義可以雙向使用，即直線a垂直于平面α內(nèi)的任何直線，則a⊥α，反之，若a⊥α，則a垂直于平面α內(nèi)的任何直線。