Question

【題目】在四棱錐中，，.

(Ⅰ)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：∥平面；

(Ⅱ)當(dāng)平面平面時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

(I)結(jié)合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結(jié)合平面與平面性質(zhì),證明結(jié)論.(II)建立空間坐標(biāo)系,分別計(jì)算平面PCD和平面PDB的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,計(jì)算余弦值,即可.

(Ⅰ)取的中點(diǎn)為，連結(jié)，.

由已知得，為等邊三角形，.

∵，，

∴，

∴，∴.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴∥.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵，∴平面∥平面.

∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，由對(duì)稱性知，為的中點(diǎn)，且，.

∵平面平面，，

∴平面，，.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

則(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).

易知平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

則，，∴，

∵，，∴.

令，得，∴，

∴.

設(shè)二面角的大小為，則.