Question

某工廠利用輻射對(duì)食品進(jìn)行滅菌消毒，現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍，并對(duì)宿舍進(jìn)行防輻射處理，建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān)．若建造宿舍的所有費(fèi)用p（萬(wàn)元）和宿舍與工廠的距離x（km）的關(guān)系為：p=

k

3x+5

(0≤x≤8)，若距離為1km時(shí)，測(cè)算宿舍建造費(fèi)用為100萬(wàn)元．為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條道路，已知購(gòu)置修路設(shè)備需5萬(wàn)元，鋪設(shè)路面每公里成本為6萬(wàn)元，設(shè)f（x）為建造宿舍與修路費(fèi)用之和．
（I）求f（x）的表達(dá)式；
（II）宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)距離為1km時(shí)，測(cè)算宿舍建造費(fèi)用為100萬(wàn)元，可求k的值，由此，可得f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）f(x)=

800

3x+5

+2(3x+5)-5，利用基本不等式，即可求出函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，距離為1km時(shí)，測(cè)算宿舍建造費(fèi)用為100萬(wàn)元
∴100=

k

3×1+5

，∴k=800（3分）
∴f(x)=

800

3x+5

+5+6x，0≤x≤8 （7分）
（Ⅱ）∵f(x)=

800

3x+5

+2(3x+5)-5≥80-5 （11分）
當(dāng)且僅當(dāng)

800

3x+5

=2(3x+5)即x=5時(shí)f（x）_min=75． （14分）
答：宿舍應(yīng)建在離廠5km處可使總費(fèi)用f（x）最小為75萬(wàn)元． （15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，注意基本不等式的使用條件．