利用二項(xiàng)式定理證明5151－1能被7整除.

思路解析：為了在展開式中出現(xiàn)7的倍數(shù)，應(yīng)把51拆成7的倍數(shù)與其他數(shù)的和(或差)的形式.

證明：5151－1=(49+2)51－1=C4951+C49502+…+C49·250+C251－1，

易知除C251－1以外各項(xiàng)都能被7整除.

又251－1=(23)17－1=(7+1)17－1=C717+C716+…+C7+C－1=7(C716+C715+…+C).

顯然能被7整除，所以5151－1能被7整除.

方法歸納  利用二項(xiàng)式定理證明有關(guān)多項(xiàng)式(數(shù)值)的整除問(wèn)題，關(guān)鍵是將所給多項(xiàng)式通過(guò)恒等變形變?yōu)槎?xiàng)式形式，即把冪底數(shù)化成除數(shù)的倍數(shù)與一較小數(shù)的和、差的形式，利用展開式進(jìn)行化簡(jiǎn)，使其展開后的各項(xiàng)均含有除式.整除的理論依據(jù)是：若p,q都能被r整除，則mp+nq也能被r整除.


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在二項(xiàng)式定理這節(jié)教材中有這樣一個(gè)性質(zhì)：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N
（1）計(jì)算1•C30+2•C31+3•C32+4•C33的值方法如下：
設(shè)S=1•C30+2•C31+3•C32+4•C33又S=4•C33+3•C32+2•C31+1•C30
相加得2S=5•C30+5•C31+5•C32+5•C33即2S=5•23
所以2S=5•22=20利用類似方法求值：1•C20+2•C21+3•C22，1•C40+2•C41+3•C42+4•C43+5•C44
（2）將（1）的情況推廣到一般的結(jié)論，并給予證明
（3）設(shè)Sn是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求S1Cn0+S2Cn1+S3Cn2+S4Cn3+…+Sn+1Cnn，n∈N．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009屆上海市南匯中學(xué)高三年級(jí)零次月考、數(shù)學(xué)試卷 題型：044

在二項(xiàng)式定理這節(jié)教材中有這樣一個(gè)性質(zhì)：

(1)計(jì)算的值方法如下：

設(shè)又

相加得即2S＝5·23

所以2S＝5·22＝20利用類似方法求值：

(2)將(1)的情況推廣到一般的結(jié)論，并給予證明

(3)設(shè)Sn是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在二項(xiàng)式定理這節(jié)教材中有這樣一個(gè)性質(zhì)：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N
（1）計(jì)算1•C30+2•C31+3•C32+4•C33的值方法如下：
設(shè)S=1•C30+2•C31+3•C32+4•C33又S=4•C33+3•C32+2•C31+1•C30
相加得2S=5•C30+5•C31+5•C32+5•C33即2S=5•23
所以2S=5•22=20利用類似方法求值：1•C20+2•C21+3•C22，1•C40+2•C41+3•C42+4•C43+5•C44
（2）將（1）的情況推廣到一般的結(jié)論，并給予證明
（3）設(shè)Sn是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求S1Cn0+S2Cn1+S3Cn2+S4Cn3+…+Sn+1Cnn，n∈N．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在二項(xiàng)式定理這節(jié)教材中有這樣一個(gè)性質(zhì)：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N
（1）計(jì)算1•C30+2•C31+3•C32+4•C33的值方法如下：
設(shè)S=1•C30+2•C31+3•C32+4•C33又S=4•C33+3•C32+2•C31+1•C30
相加得2S=5•C30+5•C31+5•C32+5•C33即2S=5•23
所以2S=5•22=20利用類似方法求值：1•C20+2•C21+3•C22，1•C40+2•C41+3•C42+4•C43+5•C44
（2）將（1）的情況推廣到一般的結(jié)論，并給予證明
（3）設(shè)Sn是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求S1Cn0+S2Cn1+S3Cn2+S4Cn3+…+Sn+1Cnn，n∈N．

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