Question

已知復(fù)數(shù)z₁=2cosθ+i•sinθ，z₂=1-i•（

3

cosθ），其中i是虛數(shù)單位，θ∈R．
（1）當(dāng)cosθ=

3

3

時，求|z₁•z₂|；
（2）當(dāng)θ為何值時，z₁=z₂．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，寫出復(fù)數(shù)的模長，把兩個模長做乘法運算，整理化簡，根據(jù)所給的角的余弦值得到正弦值，代入所得的模長代數(shù)式，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得到兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，得到關(guān)于角θ的方程組，解方程組得到角的范圍．

解答：解：（1）|z₁•z₂|=|z₁||z₂|=

4cos2θ +sin2θ

1+3cos2θ

，
∵cosθ=

3

3

，
∴cos2θ=

1

3

，sin2θ=

2

3

∴|z₁•z₂|=2，
（2）∵z₁=z₂．
∴2cosθ=1，-sinθ=

3

cosθ，
∴θ=2kπ±

π

3

且θ=kπ-

π

3

，k∈z，
∴θ=2kπ-

π

3

，k∈z

點評：本題考查復(fù)數(shù)求模長，考查復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查三角函數(shù)的運算，考查解關(guān)于三角函數(shù)的方程，本題是一個綜合題目．