Question

數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，點(diǎn)在直線上．
⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
⑵若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
⑶設(shè)，求證：．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）；（3）證明過程詳見解析.

試題分析：本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力.第一問，由于點(diǎn)在直線上，所以將點(diǎn)代入得到與的關(guān)系式，兩邊同除以，湊出新的等差數(shù)列，并求出首項(xiàng)個(gè)公差；第二問，先利用第一問的結(jié)論求出的通項(xiàng)公式，得到的表達(dá)式，由求，將得到的結(jié)論代入到中，用錯(cuò)位相減法求，在解題過程中用到了等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式；第三問，先將第二問的結(jié)論代入，利用分組求和的方法先求出，當(dāng)時(shí)，具體比較結(jié)果與的大小，當(dāng)時(shí)，得到的數(shù)都比的結(jié)果大，所以都大于，所以不等式成立.
試題解析：（1）∵點(diǎn)在直線（）上，
∴，
兩邊同除以，得，，
于是，是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
（2）∵，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴
∴，
∴

∴

∴
∴.
（3）∵，
∴



當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以.