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12.已知函數(shù)f(x)=x+ax2+bx+1是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)a和b的值;
(2)證明y=f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調遞減;
(3)已知k<0且不等式f(t2-2t+3)+f(k-1)<0對任意的t∈R恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)求函數(shù)的定義域為R,則f(x)是定義域為R的奇函數(shù),則有f(0)=0,f(-1)=-f(1)即可求a、b的值.
(2)定義法證明其單調性即可.
(3)利用單調性將不等式化簡,分離參數(shù),求二次函數(shù)的最值來求實數(shù)k的取值范圍.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=x+ax2+bx+1是奇函數(shù).
可知函數(shù)f(x)的定義域為R,有f(0)=0,f(-1)=-f(1)
即:0+a=0,解得a=0,那么:f(x)=xx2+bx+1
由f(-1)=-f(1)
得:xx2bx+1=-xx2+bx+1
解得:b=0
所以:f(x)=xx2+1
那么:f(-x)=xx2+1=-xx2+1=f(x)
∴f(x)是定義域為R的奇函數(shù).
(2)證明:
由(1)得f(x)=xx2+1
設1<x1<x2,
那么:fx1fx2=x1x12x2x22=x1x2x2x1x1x22,
∵1<x1<x2,
∴x2-x1>0
可得:f(x1)-f(x2)>0
所以:函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調遞減;
(3)由(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調遞減;
∵奇函的單調性在其定義域內相同,
∴函數(shù)f(x)在定義域R上的單調遞減;
不等式f(t2-2t+3)+f(k-1)<0,可得:f(t2-2t+3)<f(1-k),
轉化為:t2-2t+3>1-k.
即:(t-1)2+1>-k對任意的t∈R恒成立.
解得:-1<k,
∵k<0,
所以:實數(shù)k的取值范圍(-1,0).

點評 本題考查了函數(shù)的性質的運用能力和單調性的證明,以及利用單調性求解恒成立的問題,屬于中檔題.

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