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函數f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的圖象關于原點中心對稱，則f（x）


  1. A.
    在[-4數學公式，4數學公式]上為增函數
  2. B.
    在[-4數學公式，4數學公式]上為減函數
  3. C.
    [4數學公式，+∞）上為增函數，在（-∞，-4數學公式]上為減函數
  4. D.
    在（-∞，-4數學公式]上為增函數，在[4數學公式，+∞）上也為增函數
D
分析：由已知中函數f（x）=ax3+（a-1）x2+48（b-3）x+b的圖象關于原點中心對稱，則f（x）必為奇函數，由此我們可以得到函數解析式中所有偶次項系數均為0，進而求出函數的解析式，求出導函數后，分析導函數在各個區(qū)間上的符號，即可得到答案．
解答：由f（x）關于原點中心對稱，即f（x）是奇函數．
∴a-1=0，b=0
∴a=1，b=0
∴f（x）=x3-144x
∴f′（x）=3x2-144=3（x2-48）=
令f′（x）＞0，則
令f′（x）＜0，則
∴f（x）在上為增函數，在上為減函數．
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，及函數奇偶性的性質，其中根據已知條件判斷出函數為奇函數，進而求出函數的解析式，是解答本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

有下列命題：
①若f（x）存在導函數，則f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函數h（x）=cos4x-sin4x，則h′(
π12
)=1；
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009!．
④若三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值點”的充要條件．
其中真命題的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

18、已知函數f（x）=ax3-6ax2+b（x∈[-1，2]）的最大值為3，最小值為-29，求a、b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設f″（x）是函數y=f（x）的導數y=f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數y=f（x）的“拐點”；
定義：（2）設x0為常數，若定義在R上的函數y=f（x）對于定義域內的一切實數x，都有f（x0+x）+f（x0-x）=2f（x0）成立，則函數y=f（x）的圖象關于點（x0，f（x0））對稱．
己知f（x）=x3-3x2+2x+2，請回答下列問題：
（1）求函數f（x）的“拐點”A的坐標
 
；
（2）檢驗函數f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若函數f（x）=ax3-2x2+a2x在x=1處有極小值，則實數a等于
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知下表為函數f（x）=ax3+cx+d部分自變量取值及其對應函數值，為了便于研究，相關函數值取非整數值時，取值精確到0.01．
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根據表中數據，研究該函數的一些性質：
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零點，并說明理由．

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