Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣a|+|x﹣1|

（1）若f（1）≥2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（2）若不等式f（x）≤x對(duì)任意x[2，]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) （﹣∞，0]∪[4，+∞）；(2) [4，5]．

【解析】

（1）考查絕對(duì)值不等式的基本解法（零點(diǎn)分段法），對(duì)于一個(gè)絕對(duì)值的問(wèn)題可以直接去掉絕對(duì)值；（2）此問(wèn)考查不等式恒成立求參問(wèn)題，常用方法時(shí)分離參數(shù)求函數(shù)最值或值域．

（1）由于f（1）＝|2﹣a|≥2，則a﹣2≥2或者a﹣2≤﹣2，所以a≥4或者a≤0，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，0]∪[4，+∞）；

（2）不等式f（x）≤x對(duì)任意恒成立，此時(shí)f（x）≤x可化為：

|2x﹣a|+x﹣1≤x，即|2x﹣a|≤1，也即a﹣1≤2x≤a+1對(duì)任意恒成立，

所以a﹣1≤（2x）min＝4且a+1≥（2x）max＝5，

即4≤a≤5，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，5]．