Question

給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）=3sin（2x-

π

3

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱(chēng)；
②若a≥b＞-1，則

a

1+a

≥

b

1+b

；
③存在唯一的實(shí)數(shù)x，使x³+x²+1=0；
④已知P為雙曲線(xiàn)x²-

y2

9

=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，且|PF₂|=4，則|PF₁|=2或6．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出；
②利用不等式的性質(zhì)即可判斷出；
③利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出；
④利用雙曲線(xiàn)的定義及其性質(zhì)即可判斷出．

解答： 解：①∵f(-

π

6

)=3sin(-

π

6

×2-

π

3

)=-

3 3

2

，因此函數(shù)f（x）=3sin（2x-

π

3

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）不對(duì)稱(chēng)，因此不正確；
②若a≥b＞-1，則1+a＞0，1+b＞0，∴a（1+b）-b（1+a）=a-b≥0，∴

a

1+a

≥

b

1+b

，因此正確；
③令函數(shù)f（x）=x³+x²+1，f′(x)=3x(x+

2

3

)，令f^′（x）=0，解得x=0或-

2

3

．當(dāng)x＞0或x＜-

2

3

時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)
f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)-

2

3

＜x＜0時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，
且f（0）=1＞0，∴函數(shù)在區(qū)間(-

2

3

，+∞)上無(wú)零點(diǎn)，而當(dāng)x＜-

2

3

時(shí)，f（-2）=（-2）³+（-2）²+1=-3＜0，f（-1）=1＞0，由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理及其單調(diào)性可知：函數(shù)f（x）在R上存在唯一零點(diǎn)x₀∈（-2，-1），因此正確．
④由x²-

y2

9

=1，可得c=

1+9

=

10

．
∴F₁(-

10

，0)，F(xiàn)₂(

10

，0)，
而|PF₂|=4，∴點(diǎn)P必在雙曲線(xiàn)的右支上，
∴|PF₁|=|PF₂|+2a=4+2=6．
因此不正確．
綜上可知：只有②③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及其函數(shù)零點(diǎn)的判定定理、雙曲線(xiàn)的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．