如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求直線AC與PB所成角的余弦值;
(Ⅱ)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NE⊥面PAC,并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)AC∩BD=O,連OE,將PB平移到OE,根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角,在△AOE中,利用余弦定理求出此角的余弦值即可;
(Ⅱ)在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F,連PF,設(shè)N為PF的中點(diǎn),連NE,則NE∥DF,根據(jù)線面垂直的判定定理可知DF⊥面PAC,從而NE⊥面PAC,則N點(diǎn)到AB的距離即為AP,N點(diǎn)到AP的距離即為AF.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)AC∩BD=O,連OE,則OE∥PB,
∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.
在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,
∴cosEOA==
即AC與PB所成角的余弦值為
(Ⅱ)在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F,則∠ADF=
連PF,則在Rt△ADF中DF==,AF=ADtanADF=
設(shè)N為PF的中點(diǎn),連NE,則NE∥DF,
∵DF⊥AC,DF⊥PA,∴DF⊥面PAC.從而NE⊥面PAC.
∴N點(diǎn)到AB的距離=AP=1,N點(diǎn)到AP的距離=AF=
點(diǎn)評:本題主要考查了異面直線的所成角,以及點(diǎn)到線的距離的計(jì)算,同時考查了空間想象能力、計(jì)算能力和推理能力,屬于中檔題.
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
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(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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