Question

如圖，矩形A_nB_nC_nD_n的一邊A_nB_n在x軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)C_nD_n在函數(shù)f（x）=x+

1

x

（x＞0）的圖象上．若點(diǎn)B_n的坐標(biāo)（n，0）（n≥2，n∈N⁺），記矩形A_nB_nC_nD_n的周長(zhǎng)為a_n，數(shù)列{a_n}的前m（m∈N⁺）項(xiàng)和為S_m，則

lim

n→+∞

Sm

a 2 n

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題

分析：先確定C_n的縱坐標(biāo)，D_n的橫坐標(biāo)，從而求出矩形A_nB_nC_nD_n的周長(zhǎng)，利用等差數(shù)列的求和公式，求出前n項(xiàng)和，再求極限．

解答： 解：由題意，∵C_n，D_n在函數(shù)f（x）=x+

1

x

（x＞0）的圖象上．若點(diǎn)B_n的坐標(biāo)為（n，0）（n≥2，n∈N⁺），
∴C_n的縱坐標(biāo)為n+

1

n

，D_n的橫坐標(biāo)為

1

n

∴矩形A_nB_nC_nD_n的一條邊長(zhǎng)為n+

1

n

，另一條邊長(zhǎng)為n-

1

n

∴矩形A_nB_nC_nD_n的周長(zhǎng)為a_n=2（n+

1

n

+n-

1

n

）=4n
∴數(shù)列{a_n}的前m（m∈N⁺）項(xiàng)和為S_m=4×2+4×3+…+4×m=4（2+3+…+m）=4×

(m-1)(m+2)

2

=2m²+2m-4
∴

lim

n→∞

Sm

an2

=

lim

n→∞

2n2+2n-4

(4n)2

=

lim

n→∞

（

1

8

+

1

8n

-

1

4n2

）=

1

8

；
故答案為：

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式以及分析解決問(wèn)題的能力，解題時(shí)確定矩形A_nB_nC_nD_n的周長(zhǎng)是關(guān)鍵．