Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線 交于，兩點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，分別求拋物線在點(diǎn)和處的切線方程；

（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 過點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程分別為.(2)存在點(diǎn)，理由見解析

【解析】

（1）將直線l的方程代入拋物線C的方程，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再聯(lián)立方程，判別式為零，可求出拋物線C在點(diǎn)M、N處的切線方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P為符合題意的點(diǎn)，將直線l的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式計(jì)算直線PM和直線PN的斜率之和為0，求出的值，即可解決該問題．

（1）由題意知時(shí)，聯(lián)立，

解得，．

設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，

聯(lián)立得：，

由題意：，即，解得，

根據(jù)對(duì)稱性，過點(diǎn)的切線斜率為，

所以過點(diǎn)和點(diǎn)的切線方程分別為.

（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：

設(shè)點(diǎn)為符合題意的點(diǎn)，，，直線，的斜率分別為，．聯(lián)立方程，得，故，，

從而．

當(dāng)時(shí)，有，則直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，

故，所以點(diǎn)符合題意．