Question

已知{b_n}是公比大于1的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，且a₁=1，（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）依S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，
得（2分）
從而2q²-5q+2=0得
故b_n=2ⁿ．（4分）
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，=2ⁿ-2
則S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=1+2（2²-2）+3（2³-2）+…+n（2ⁿ-2）
=1+（2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-2（2+3+…+n）（1分）
令
得=（1-n）•2ⁿ⁺¹
故．（3分）
于是S_n==（n-1）•2ⁿ⁺¹-n²-n+3．（2分）
分析：（1）利用S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差數(shù)列，求出公比與首項(xiàng)，推出通項(xiàng)公式．
（2）利用（1）推出的表達(dá)式，通過錯(cuò)位相減法求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，前n項(xiàng)和的求法，考查分析問題解決問題的能力．