Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的頂點(diǎn)為A．二次函數(shù)y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點(diǎn)O及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)B在函數(shù)y=x²-2x-1的圖象的對(duì)稱軸上．
（1）求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）配方可得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，又可得所以點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸l對(duì)稱，可得C的坐標(biāo)；
（2）由題意可得

a+b=-2 4a+2b=0.

，解之可得a、b的值，可得所求．

解答：解：（1）配方可得y=x²-2x-1=（x-1）²-2，所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2）．…（2分）
因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且它的頂點(diǎn)在二次函數(shù)y=x²-2x-1圖象的對(duì)稱軸l上，
所以點(diǎn)C和點(diǎn)O關(guān)于直線l對(duì)稱，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）．…（6分）
（2）因?yàn)樗倪呅蜛OBC是菱形，所以點(diǎn)B和點(diǎn)A關(guān)于直線OC對(duì)稱，因此，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2）…（9分）
因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（1，2），C（2，0），
所以

a+b=2 4a+2b=0

，解得

a=-2 b=4

…（13分）
所以二次函數(shù)y=ax²+bx的關(guān)系式為y=-2x²+4x．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及數(shù)形結(jié)合的思想，屬基礎(chǔ)題．