某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.

(1) 若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?

(2) 假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇,并說(shuō)明理由.


解:(1) 設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里,則

故當(dāng)t=時(shí),Smin=10 海里,

此時(shí)v=海里/時(shí).

即小艇以30海里/時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最小.

(2) 設(shè)小艇與輪船在B處相遇,

則v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),故v2=900-

∵ 0<v≤30,

∴ 900-≤900,即≤0,解得t≥.

又t=時(shí),v=30海里/時(shí).故v=30海里/時(shí)時(shí),t取得最小值,且最小值等于.

此時(shí),在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可設(shè)計(jì)航行方案如下:航行方向?yàn)楸逼珫|30°,航行速度為30海里/時(shí),小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.


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