精英家教網(wǎng)函數(shù)y=f（x），x∈[-5，5]的圖象如圖所示，該曲線在原點(diǎn)處的切線的方程為y=x，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）是減函數(shù)．給出下列四個命題：
①A，B是該圖象上的任意兩點(diǎn)，那么直線AB的斜率kAB∈（0，1）；
②點(diǎn)P是該圖象在第一象限內(nèi)的部分上的點(diǎn)，那么直線OP的斜率kOP∈（0，1）；
③對于?x1，x2∈[-5，5]，f（x1）+f（x2）≤2f（
x1+x2
2
）恒成立；
④對于?x∈[-5，5]，f（x）≤x．
其中所有真命題的序號是（　　）
A、①②③B、②③④
C、②④D、①③
分析：對于①A，B是該圖象上的任意兩點(diǎn)，直線AB的斜率可以用AB中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)對應(yīng)到圖象上點(diǎn)的切線斜率近似代替，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個減函數(shù)，知當(dāng)x＜0時f′（x）＞f′（0）=1，故①不正確；再結(jié)合選項，說明應(yīng)在B、C當(dāng)中選一個，問題的焦點(diǎn)集中到③這個命題是否正確了．利用函數(shù)圖象的凹凸性不難發(fā)現(xiàn)命題③是正確的，這樣就可以選到正確答案了．
解答：解：先看命題①：若A，B是該圖象上的任意兩點(diǎn)，直線AB的斜率可以用AB中點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)對應(yīng)到圖象上點(diǎn)的切線斜率近似代替，
由已知條件曲線在原點(diǎn)處的切線的方程為y=x，說明f′（0）=1，再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個減函數(shù)知
當(dāng)x＜0時f′（x）＞f′（0）=1，說明存在-5＜x＜0時直線AB的斜率kAB＞1，故①不正確；
再結(jié)合選項：只有B、C當(dāng)中沒有認(rèn)為①正確，說明應(yīng)在B、C當(dāng)中選一個，
問題的焦點(diǎn)集中到③這個命題是否正確了．
利用函數(shù)圖象的凹凸性：函數(shù)f（x）是一個凸函數(shù)，說明滿足不等式：f(
x1+x2
2
) ≥
1
2
(f(x1)+f(x2) )
對照一下命題③，說明命題③是正確的，因此可得正確答案為②③④．
故選B
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象、函數(shù)圖象的凹凸性和函數(shù)恒成立等問題，綜合性較強(qiáng)，是一道難題．此問題還著重考查學(xué)生觀察圖形，分析問題和解決問題的能力，不失為一道優(yōu)良的考題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•黃埔區(qū)一模）對于函數(shù)y=f（x）與常數(shù)a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“P數(shù)對”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，則稱（a，b）為函數(shù)f（x）的一個“類P數(shù)對”．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一個“P數(shù)對”，求f（2n）（n∈N*）；
（2）若（-2，0）是f（x）的一個“P數(shù)對”，且當(dāng)x∈[1，2）時f（x）=k-|2x-3|，求f（x）在區(qū)間[1，2n）（n∈N*）上的最大值與最小值；
（3）若f（x）是增函數(shù)，且（2，-2）是f（x）的一個“類P數(shù)對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．
①f（2-n）與2-n+2（n∈N*）；
②f（x）與2x+2（x∈（0，1]）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選作題）定義在（-1，1）上的函數(shù)y=f（x）滿足：對任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）如果當(dāng)x∈（-1，0）時，有f（x）＞0，求證：f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）在（2）的條件下解不等式：f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)＞0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•順義區(qū)二模）對于定義域分別為M，N的函數(shù)y=f（x），y=g（x），規(guī)定：
函數(shù)h(x)=
f(x)•g(x)，當(dāng)x∈M且x∈N
f(x)，當(dāng)x∈M且x∉N
g(x)，當(dāng)x∉M且x∈N

（1）若函數(shù)f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數(shù)h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，設(shè)bn為曲線y=h（x）在點(diǎn)（an，h（an））處切線的斜率；而{an}是等差數(shù)列，公差為1（n∈N*），點(diǎn)P1為直線l：2x-y+2=0與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（an，bn）．求證：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數(shù)y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)y=f（x），x∈D，如果對于定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，對于給定的非零常數(shù)m，總存在非零常數(shù)T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級類增周期函數(shù)，周期為T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是D上的m級類周期函數(shù)，周期為T．
（1）試判斷函數(shù)f（x）=log
12
(x-1)是否為（3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數(shù)？并說明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）下面兩個問題可以任選一個問題作答，如果你選做了兩個，我們將按照問題（Ⅰ）給你記分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m級類周期函數(shù)，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=2x，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知當(dāng)x∈[0，4]時，函數(shù)f（x）=x2-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期為4的m級類周期函數(shù)，且y=f（x）的值域為一個閉區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•盧灣區(qū)一模）將奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)（即（0，0））對稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣，有下面的結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=2b的充要條件是y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）成中心對稱．
②函數(shù)y=f（x）滿足F（x）=f（x+a）-f（a）為奇函數(shù)的充要條件是y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，f（a））成中心對稱（注：若a不屬于x的定義域時，則f（a）不存在）．
利用上述結(jié)論完成下列各題：
（1）寫出函數(shù)f（x）=tanx的圖象的對稱中心的坐標(biāo)，并加以證明．
（2）已知m（m≠-1）為實(shí)數(shù)，試問函數(shù)f(x)=
x+m
x-1
的圖象是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對稱？若是，求出對稱中心的坐標(biāo)并說明理由；若不是，請說明理由．
（3）若函數(shù)f(x)=(x-
2
3
)(|x+t|+|x-3|)-4的圖象關(guān)于點(diǎn)(
2
3
，f(
2
3
))成中心對稱，求t的值．

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